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標準偏差と範囲


標準偏差と範囲

平均値と中央値でも取り上げたように今回もBMIで解説していく。

日本人とアフリカ人とのBMIデータ
日本人のBMI 19、21、23、24、25、27、29
アフリカ人のBMI 16、19、22、24、26、29、32

それぞれの平均値を計算すると、下記のようになる。
\[
日本人のBMI = \frac{19+21+23+24+25+27+29}{7}=24
\]

\[
アフリカ人のBMI = \frac{16+19+22+24+26+29+32}{7}=24
\]
両国ともにBM1は24で同値。ここで、両国のデータの分布(散らばり)を表記すると下記のようになる。

日本人とアフリカ人のBMI分布
日本人
アフリカ人

日本人とアフリカ人のBMI分布は両方とも正規分布だが、散らばり幅が違う。日本人は平均値付近に密集しているが、アフリカ人は幅広く分布している。同じ平均値でも、最高と最低の格差が違うのだ。
これをデータの散らばり具合を表す指標として、標準偏差や範囲などがある。

標準偏差

標準偏差:Standard deviation(SD)は日本工業規格では、分散の正の平方根と定義している。データや確率変数の散らばり具合(ばらつき)を表す数値のひとつ。

図2-C1 2種類の標準偏差

上の図は、正規分布のデータの散らばり具合を表す指標。標準偏差が小さいほど散らばり幅は小さく、分布図は細い山型の図になり(①の図)、標準偏差が大きくなるにつれて、散らばり幅が大きくなり、分布の山型の図はならだかになる。(②の図)

図2-c2 標準偏差と正規分布

正規分布では、上の図(図2-D1)のように、「平均値±標準偏差」の範囲にデータの全体の約68%が含まれる。また「平均値±標準偏差×2」の範囲にデータ全体の約95%が含まれる。

◆正規分布データ全体の68%は、、平均値±標準偏差の範囲に含まれる。
◆正規分布データ全体の95%は、平均値±標準偏差×2の範囲に含まれる。

先程の例で、日本人とアフリカ人のBMIの標準偏差をそれぞれ計算すると、次のようになる。

平均値 標準偏差
日本人 24 3
アフリカ人 24 6

平均値±標準偏差×2をそれぞれ計算すると、次のようになる。

日本人のBMI    24±3×2 →18~30
アフリカ人のBMI  24±6×2 →12~36
以上から、日本人の95%のBMIは、18~30の範囲にあり、アフリカ人の95%のBMIは、12~36の範囲にあると解釈でき、アフリカ人のほうが散らばり具合が大きいことが分かる。

範囲

標準偏差はデータの分布が正規分布でなければ、意味のある数値にならない。正規分布ではない場合は、一般に最大値と最小値を用いて値「範囲」を示す。(下記の図2-c3)
図2-c3 範囲

前章の「平均値と中央値」ででてきたアメリカ人のBMI(図2-b2)は正規分布ではないために散らばり幅は[13-32]のように、範囲で示す。
データの縮約法をまとめると以下のようになる。

正規分布の場合の縮約法 :平均値・標準偏差
非正規分布の場合の縮約法中央値・範囲

代表値 散らばり幅
日本人 平均値 24 標準偏差 3
アフリカ人 平均値 24 標準偏差 6
アメリカ人 中央値 26 範囲 [13-32]

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