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平均値と中央値

平均値は真ん中の値?

計量データをまとめて代表する値を代表値という。代表値として最もよく用いられているのは平均値である。平均値とは、データの総和をデータの数で割って求めた値である。

\[
平均値 = \frac{データの総和}{データの個数}
\]


ところで、平均値は本当に真ん中の値(「平均的な値」)といえるのか?次のデータをみると、日本人とアメリカ人の「標準的な」BMIを調べるために7人ずつ調査した結果、下のデータのようになった。

BMI(Body Mass Index)とは1994年にWHOで定めた肥満判定の国際基準。日本でも健康診断で使っている計算式。このBMIは「体重(kg)÷(身長(m)×身長(m))」のように求められるため、身長と体重を入力すれば、BMIや標準体重が計算できる。

日本人とアメリカ人のBMIデータ
日本人のBMI 19、21、23、24、25、27、29
アメリカ人のBMI 13、14、25、26、28、30、32

それぞれ平均値を計算すると次のようになる。
\[
日本人のBMI = \frac{19+21+23+24+25+27+29}{7}=24
\]

\[
アメリカ人のBMI = \frac{13+14+25+26+28+30+32}{7}=24
\]

日本人もアメリカ人も平均値は24である。ここから「両国ともBMIは同じ」と結論を出してよいのか?
そこで、データの分布(散らばり)を描いてみると下記のようになった。


上が日本人のBMI
下がアメリカ人のBMI

日本人のBMI分布は左右対称であるがアメリカ人のBMI分布には偏りがあるのが分かる。このように平均値が同じであっても散らばり方が違うと単純には比較できない。

平均値と中央値の使い分け

上の日本人のデータのように、左右対称で中心に密集している散らばり方を正規分布という。正規とは典型的・自然という意味である。
データ数をもっと増やす(通常30個以上)と、左右対称に裾野を広げる山型の分布図なる。
正規分布では平均値が真ん中の値になるため、代表値として平均値使うことは理にかなっている。

一方、アメリカ人のデータのように、左右不均等に散らばっている場合には、平均値は偏ったデータ分布の影響を受けやすくなる。このような場合は、中央値を代表値として使う。
中央値とは、データを小さい順(または大きい順)に並べた時に中央の順位に位置する値である。

中央値

中央値:データを小さい順(大きい順)に並べた時、中央の順番にある値

図2-B

上記の図2-Bでは、7人の中央に位置する4人目のデータ26が中央値となる(データの個数が偶数の場合は、中央値に位置する2つの値の平均値を中央値とする。例:15、25、26、28、30、32、の中央値は26+28÷2=27になる。
中央値は全体の半数がこの値より大きい(または小さい)ことになり、真ん中の値といえる。全体を100人とした場合に下から50番目の人の値ということで、50パーセンタイル値ともいう。

この例のアメリカ人のBMI分布のような偏った分布では、平均値は真ん中(平均的・標準的)ではありません。分布型を検証せずに何でもかんでも平均値を計算すればいいというわけではないことに気をつける。
なお、正規分布では、平均値と中央値は一致する。

正規分布(データに偏りがない)の代表値・・・・平均値
非正規分布(データに偏りがある)の代表値・・・中央値

平均寿命=寿命の平均?

寿命という言葉に惑わされがちだが、平均寿命は一般現実の寿命の平均値ではない。寿命(死亡時の年齢)の平均値は平均死亡年齢という。
ある年齢において平均あと何年生きれるかという予測値を平均余命といい、出生時の平均余命お平均寿命という。平均寿命は実際に人が何歳まで生きたか(平均死亡年齢)という実測値ではなく、「0歳児が将来何歳で死亡するか」という予測値なのだ。平均余命は年齢別死亡リスクを収載した生命表に基づいて算出され、一般に子供の死亡リスクによって大きく上下する。
また、平均寿命≦年齢+平均余命という関係にある。例えば、2011年の日本女性の平均寿命(0歳における平均余命)は85.8年で世界一だが、80歳における平均余命は11.3年(世界3位)で、80+11.3は85.8を上回る。0歳における平均余命は(=平均寿命)と80歳における平均余命では国際順位も違うことに注目しなければならない。
※2011年の日本女性の平均死亡年齢は81.9歳で、80歳の平均余命の世界1位はクック諸島の15.3年である。

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